ПОНТРЯГИНА КВАДРАТ

- когомологическая операция типа ( ), т. е. отображение

определенное для любой пары топология, пространств (X, Y).и такое, что для любого непрерывного отображения имеет место равенство

(естественность). П. к. обладает следующими свойствами:

1), где - вложение;

2) и , где

- гомоморфизм приведения по mod 2;

3) , где -изоморфизм надстройки, а - Постникова квадрат (иными слонами, когомологич. надстройкой над является ). Если

и

- представляющие отображения, то .

Свойства 1), 2) однозначно характеризуют П.к. и потому могут быть приняты за определяющие его аксиомы. Конструктивно П. к. определяется формулой

где - коцикл mod 2* (о U_i -произведениях см. ст. Стинрода квадрат).

Существует (см. [5], [6]) обобщение П. к. на случай произвольного нечетного простого р. Это обобщение является когомологич. операцией типа (, 2 рn) и наз. p-й степенью Понтрягина . Для операции имеют место формулы (к-рые эту операцию однозначно характеризуют):

где - вложение;

где - гомоморфизм приведения по модулю p, обобщающие соответствующие формулы для . Аналог формулы 3) для имеет вид , означающий, что когомологич. надстройка над при p>2 равна нулю. При р>2 имеет место равенство , в к-ром умножение можно считать как внешним ( -умножением), так и внутренним ( -умножением). При р=2 соответствующее равенство имеет место только с точностью до слагаемых порядка 2.

Наиболее общим образом П. к. определяется для когомологий над произвольной конечно порожденной абелевой группой p(см. [2], [31). Окончательный вид этого обобщения (см. [6J): П. к. представляет собой кольцевой гомоморфизм

где Г - функтор разделенных степеней алгебры. Если p=, то р-я компонента этого гомоморфизша совпадает с p- йстепенью Понтрягина (при р=2 - с П. к. ).

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., "Докл. АН СССР", 1942, т. 34, с. 39-41; [2] Болтянский В. Г., Гомотопическая теория непрерывных отображений и векторных полей, М., 1955; [3] Постников М. М., "Докл. АН СССР", 1949, т. 64, М 4, с. 461-62; [4] Browder W., Тhornas E., "Quart. J. Math.", 1962, v. 13, p. 55-60; [5] Thomas E., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1956, v. 42, p. 266-69; [6] его же, The centralized Pontrjagin cohomology operations and rings with divided powers, Providence, 1957.

С. Н. Малыгин, М. М. Постников.